関数の連続性と微分可能性の非含意

関数f(x)が開区間上で連続であっても、導関数が存在するとは限らない（f(x)＝|x|はx＝0で微分できない）。

微分可能性による連続性の保証

導関数f′(x)が開区間上で存在するならば、関数f(x)はその区間上で連続である。

導関数の連続性の有無

導関数f′(x)が開区間上で存在しても、導関数f′(x)が連続であるとは限らない（f(x)＝x²sin(1/x)、f(0)＝0は、導関数がx＝0で不連続）。

連続な関数の定積分の存在

関数f(x)が開区間I上で連続ならば、a＜c＜d＜bを満たすc, dに対し、閉区間[c, d]上で連続だから定積分∫f(x)dx（cからd）が存在する。

定積分の存在と関数の連続性の非含意

閉区間上でリーマン積分可能な関数が連続とは限らず、閉区間上で有界かつ不連続点が有限個の関数はリーマン積分可能である。

階段の上がり方とフィボナッチ数列

1歩で1段又は2段上がるとき、n段の上がり方の数x_nは、x_n＝x_{n−1}＋x_{n−2}（x_1＝1, x_2＝2）を満たす。

階段の上がり方の漸化式による計数

1歩につき1段又は2段上がるとき、n段の階段の上がり方の数x_nは、最後の1歩が1段か2段かで分けて x_n＝x_(n−1)＋x_(n−2)（x_1＝1、x_2＝2）を満たし、x_10＝89である。

コーシー・シュワルツの条件付最大値

1/x²＋1/y²＝1のとき、関数f(x,y)＝1/x＋1/yの最大値は√2である。

指数関数型曲線の対数微分と接線

x＞0で定義された関数y＝x^xのグラフ上の点(1,1)における接線の方程式は、y＝xである。

ランベルトのW関数の微分係数

y・e^y＝xで定まるW(x)について、両辺をxで微分すると W′(x)(1＋W(x))e^W(x)＝1 であり、x＝eのときW(e)＝1であるから、W′(e)＝1/(2e)である。

三角関数の加法定理による二角の和

tan(α＋β)＝(tanα＋tanβ)／(1−tanα・tanβ)であり、tanα＝3、tanβ＝2で0°＜α＋β＜180°のとき、α＋β＝135°となる。

漸化式で定義された点列

漸化式a_{n+1}=(b_n+1)/a_n、b_{n+1}=(a_{n+1}+1)/b_nで定義される点列(a_n,b_n)は周期5で循環し、100点中60個が原点からの距離3以下となる。

n乗根の大小比較

√2、∛3、⁵√5、⁶√6、⁷√7の中で最大値は∛3である。

2進数展開と数列

xₙ₊₁=2xₙ−[2xₙ]（2xₙの小数部分）で定義される数列は、x₁=0.1のとき、第2項から0.2、0.4、0.8、0.6と周期4で循環する。

ガウス積分とその一般化

広義積分∫_0^∞ exp(-x^2 y)dx=√π/(2√y)の両辺をyについてn回微分してy=1とおくことで定積分I_n=∫_0^∞ x^(2n)exp(-x^2)dxの値が求められ、n=2ではI_2=3√π/8となる。

放物線と三角形の面積関係

放物線y=(x-a)(x-b)（a<b）とx軸で囲まれる図形の面積Sは(b-a)³/6であり、放物線上で接線の傾きが0になる点Pと点A(a,0)・B(b,0)を頂点とする三角形ABPの面積Tは(b-a)³/8であるから、3S=4Tの関係が成り立つ。

クロソイド曲線の性質

クロソイド曲線は接ベクトルの大きさが1で、曲率半径がパラメータsに反比例する曲線である。

リプシッツ連続の定義

関数f(x)が区間[a,b]でリプシッツ連続であるとは、ある正の定数Lが存在して全てのx1,x2に対し|f(x1)-f(x2)|≦L|x1-x2|が成り立つことである。

絶対値関数のリプシッツ連続性

g(x)=|x|は任意の区間でリプシッツ連続である。

平方根関数のリプシッツ連続性

h(x)=√|x|は0を含む区間ではリプシッツ連続でないが、0を含まない区間[1,2]ではリプシッツ連続である。