同一平面上の三ベクトルの一次従属性

4点O, A, B, Cが同一平面上にあるとき、ベクトルOA, OB, OCは1次従属であり、1次独立ではない。

同一平面上のベクトルと外積の直交

OA×OBはOAとOBの張る平面に垂直であり、OCがその平面上にあるから、外積OA×OBとOCは直交する。

一次従属な係数の同次方程式の非自明解

3本のベクトルが同一平面上にあるとき、これを係数とする同次連立方程式の係数行列式は0であり、x＝y＝z＝0以外の解が存在する。

漸化式数列空間の基底変換と表現行列

数列の基底f1＝{1,1,…}、f2＝{2,1,…}について、Tf1＝{1,2,…}、Tf2＝{1,3,…}となる線形変換Tの表現行列は、Tf1＝3f1−f2、Tf2＝5f1−2f2であるから、第1列が(3,−1)、第2列が(5,−2)の行列である。

対角定数の四次行列の非可逆条件

対角成分がx、非対角成分が1である4次正方行列が逆行列を持たないような整数xは、x＝1とx＝−3の2個である。

直交行列となる定数の決定

行列(1/7)(3,2,6;2,6,a;b,3,c)が直交行列となるのは、a=−3、b=−6、c=2のときである。

行列の多項式表現

行列P、Qについて(P+xQ)^n=p_n(x)P+q_n(x)Qと表すとき、q_8(x)のx^3の係数は21である。

巡回行列の性質

A³=Eを満たす正方行列Aについて、(A+E)ⁿを二項定理で展開すると、Aᵏは次数kを3で割った余りに応じてE、A、A²に整理できる。

回転の変換行列

原点を中心とする角αの反時計回り回転は、行列(cos α, -sin α; sin α, cos α)で表される。

直線に関する鏡映行列

原点を通る直線y=x tan(θ/2)に関する鏡映は、行列(cos θ, sin θ; sin θ, -cos θ)で表される。

行列式と逆行列

2次正方行列の行列式が0であるとき、その行列は逆行列を持たない。

1次従属とスカラー倍

2本の列が一次従属であっても、第1列が第2列のスカラー倍として表せるとは限らず、第1列が非零で第2列が零の場合がその反例となる。

行列式と1次従属

2次正方行列の行列式が0であるとき、その列ベクトルは1次従属である。

1次変換の核

行列式が0の2次正方行列で定義される1次変換Tの核Ker Tは、零ベクトル以外の元を含む。

1次変換の像

行列式が0の2次正方行列で定義される1次変換Tの像Im Tは、R²の真部分集合である。