行列の多項式表現

行列P、Qについて(P+xQ)^n=p_n(x)P+q_n(x)Qと表すとき、q_8(x)のx^3の係数は21である。

P²=P、Q²=Q、PQ=P、QP=Qが成り立つ（PQ=0ではない）。したがって、(P+xQ)²=P+xPQ+xQP+x²Q=(1+x)P+x(1+x)Q=(1+x)(P+xQ)となり、(P+xQ)ⁿ=(1+x)ⁿ⁻¹(P+xQ)である。よってqₙ(x)=x(1+x)ⁿ⁻¹、q₈(x)=x(1+x)⁷であり、x³の係数は(1+x)⁷のx²の係数であるC(7,2)=21である。