正規分布の上位20％の境界点

平均60、分散25（標準偏差5）の正規分布で近似できる得点の上位20％を合格とするとき、合格者の最低得点は、標準正規分布でP(X＞0.84)＝0.2であるから60＋5×0.84＝64.2、すなわち約64点である。

共分散の取り得る範囲と符号

標準偏差が20と16の2変数の共分散の絶対値は320以下であり、相関が負という条件を加えると共分散の範囲は-320以上0未満となる。

ベイズの定理による原因の確率推定

ある結果が観測されたときにそれが特定の原因によるものである確率は、その原因の確率と原因の下で結果が生じる確率の積を、結果が生じる全確率で割って求められる。

確率における独立性

40枚または36枚のカードから1枚を取り出すとき、「色が青」という事象Aと「数字が5」という事象Bは両試行において独立である。

モーメント母関数とモーメントの計算

確率変数Xₙの積率母関数E[e^(tXₙ)]=((e^t+1)/2)^nを微分することで2次モーメントE[Xₙ²]=(1/4)n(n+1)、3次モーメントE[Xₙ³]=(1/8)n²(n+3)が得られる。

条件付き確率

くじを戻さずに続けて引く場合、先に引く人と後に引く人の当たりの数の同時確率は先の結果を条件とする条件付き確率の積で求まり、先の結果によって後の当たりの確率が変わるので両者は独立ではないが、後に引く人の当たりの数の期待値は引く順序に依存しない。

全選択肢が現れる制約付き正答列の確率

10個の問題の答えに1から5までの番号がすべて現れることが分かっている場合、その条件を満たす答えの並びは5!×S(10,5)=5,103,000通りであり、この条件を満たす解答をしたときに全問的中する確率1/5,103,000は、無作為に選ぶ場合の確率1/5^10=1/9,765,625の約1.91倍である。

さいころの期待値と分散

1から6までの目が等しい確率で出るさいころ100個を同時に投げるとき、1の目が出たさいころの個数を確率変数Xで表すと、Xの期待値E(X)は50/3、分散V(X)は125/9となる。