2019年 司法試験予備試験 一般教養 第35問

第35問配点３点

x, y は実数であり，y ＞ 0 を満たすとする。このとき，関数

f (x ， y) = \exp (- x^{2} y)

に対する広義積分

\int_{0}^{\infty} f (x ， y) d x

は収束し，さらに，自然数 n に対して，

\frac{d^{n}}{d y^{n}} \int_{0}^{\infty} f (x ， y) d x = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial^{n} f (x ， y)}{\partial y^{n}} d x

が成り立つ。この場合，広義積分

\int_{0}^{\infty} f (x ， y) d x

の値は具体的に求めることができて，その結果は，

\int_{0}^{\infty} f (x ， y) d x = \frac{\sqrt{π}}{2 \sqrt{y}}

である。このことを利用すると，定積分

I_{n} = \int_{0}^{\infty} x^{2 n} \exp (- x^{2}) d x

(n = 0, 1, 2, …) の値を求めることができる。I₂ の値として正しいものを次の１から５までの中から選びなさい。（解答欄は，［№35］）

１.

\frac{\sqrt{π}}{2}

２.

\frac{\sqrt{π}}{4}

３.

\frac{3 \sqrt{π}}{4}

４.

\frac{3 \sqrt{π}}{8}

５.

\frac{5 \sqrt{π}}{16}